כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
טורים\fbox{\thepage}
1 התחלה
1.1 הגדרות
סימון:
בהינתן סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נקרא לסימון \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) (או באופן שקול: \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...\)) "הטור האינסופי של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)", לאיברי הסדרה קוראים במקרה כזה גם "איברי הטור" ולאיבר ה-\(n\)-י (\(a_{n}\)) קוראים "האיבר הכללי של הטור".
\(\clubsuit\)
בהינתן סדרה, הטור שלה לא מוכרח להיות קיים שהרי אין זה מוכרח שהגבול הנ"ל קיים.
\(\clubsuit\)
זהו מקרה פרטי של תנאי קושי להתכנסות סדרות אותו למדנו בקורס הקודם (נזכור שההגדרה של טור היא גבול של סדרת הסכומים החלקיים).
\(\clubsuit\)
הטורים \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)\) יכולים להתכנס גם אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) אינם מתכנסים; למעשה, ע"פ סעיף1 אם שניים מארבעת הטורים הללו מתכנסים אז גם שני האחרים מתכנסים.
\(\clubsuit\)
מסעיף2נובע שאם \(c\neq0\) אז התכנסות הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(c\cdot a_{n}\right)\) גוררת את התכנסות הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\).
\(\clubsuit\)
סעיף2אינו נכון אם \(a_{n}\leq b_{n}\) רק ממקום מסוים ואילך, לדוגמה נגיד שלכל \(100\geq n\in\MKnatural\)\(a_{n}=100\) ואילו \(b_{n}=0\) ואח"כ לכל \(100<n\in\MKnatural\)\(a_{n}=2^{-n}\) ואילו \(b_{n}=2^{-\left(n-1\right)}\)...
הגדרה 1.1. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת מספרים ממשיים; נסמן ב-\(S_{N}\) את \(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\) (לכל \(N\in\MKnatural\)) ונקרא לו "הסכום החלקי ה-\(N\)-י של הטור", הסדרה \(\left(S_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) תקרא "סדרת הסכומים החלקיים של הטור". נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)מתכנס אם הסדרה \(\left(S_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) מתכנסת ובמקרה כזה נאמר שסכום הטור\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא \(\lim_{N\rightarrow\infty}S_{N}\) ונכתוב:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{N\rightarrow\infty}S_{N}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}a_{n}
\]אם הטור אינו מתכנס נאמר שהוא מתבדר. אם סדרת הסכומים החלקיים של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת ל-\(\pm\infty\) נאמר שהטור שואף/מתבדר ל-\(\pm\infty\) (כזכור מהקורס הקודם שאיפה ל-\(\pm\infty\) היא סוג של התבדרות) ונכתוב:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\pm\infty
\]
הגדרה 1.2. בהינתן טור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) נקרא לטור \(\sum_{n=m+1}^{\infty}a_{n}\) (\(m\in\MKnatural_{0}\)) בשם ה-\(m\) זנב של \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) או גם ה-\(m\)-שארית של \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\), אם ה-\(m\)-זנב של טור מתכנס נסמן את סכומו ב-\(r_{m}\).
\(\:\)
משפט 1.3. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה אי-שלילית, מתקיים:\[
\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
\]כלומר הטור מתכנס וסכומו שווה לסכום האינסופי של איברי \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\).
הוכחה. נסמן ב-\(D\) את קבוצת הסכומים החלקיים של איברי \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\). תהא \(\left(b_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(b_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\), מהגדרה זו נובע ש-\(\left(b_{N}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלרע ומכאן שיש לה גבול במובן הרחב (כלומר \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) קיים). יהי \(d_{0}\in D\), \(d_{0}\) כזה הוא סכום סופי של איברים מ-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)ולכן יש בו איבר מהסדרה שהאינדקס שלו הוא הגדול ביותר, נסמן את האינדקס הזה ב-\(N_{0}\) ומכאן ש-\(b_{N_{0}}=\sum_{n=1}^{N_{0}}\geq d\). כעת, אם \(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}=\infty\) אז היות שלכל \(d\in D\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך ש-\(b_{N}\geq d\) ובנוסף \(\left(b_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה מוכרח להתקיים גם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\infty\). במקרה שבו \(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}\) סופי נשים לב ש-\(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}\) הוא חסם מלעיל של \(\left(b_{N}\right)_{n=1}^{\infty}\) שהרי לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים \(b_{N}\in D\) (ומהגדרה \(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}=\sup D\)). מהאפיון הנוסף של הסופרמום נובע שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(d_{1}\in D\) כך ש-\(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}-\frac{1}{\varepsilon}<d\leq\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}\), \(d_{1}\) כזה הוא סכום סופי של איברים מ-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)ולכן יש בו איבר מהסדרה שהאינדקס שלו הוא הגדול ביותר, נסמן את האינדקס הזה ב-\(N_{1}\) ומכאן ש-\(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}\geq b_{N_{1}}=\sum_{n=1}^{N_{1}}\geq d>\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}-\frac{1}{\varepsilon}\), מהיות \(\left(b_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) סדרה מונוטונית עולה נובע שהנ"ל מתקיים גם לכל האיברים הבאים בסדרה \(\left(b_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) ומכאן ש-\(\sum_{n\in\MKnatural}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\).
מסקנה 1.4. לכל סדרה אי-שלילית \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סכום הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) אינו תלוי בסדר האיברים בסדרה.
משפט 1.5. תנאי קושי להתכנסות טורים תנאי הכרחי ומספיק לכך שטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) יתכנס הוא שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) ולכל \(K\in\MKnatural\) מתקיים:
משפט 1.7. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה, אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\).
טענה 1.8. אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס למספר \(S\in\MKreal\) אז \(r_{m}=S-\sum_{n=1}^{m}a_{n}\), ואם קיים \(m\in\MKnatural\) כך שה-\(m\)-זנב של הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס ל-\(S\) אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S+\sum_{n=1}^{m}a_{n}\).
מסקנה 1.9. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור.
הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אם"ם לכל \(m\in\MKnatural\) ה-\(m\)-זנב שלו מתכנס.
אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אזי \(\lim_{m\rightarrow\infty}r_{m}=0\).
שינוי, הוספה או גריעה של מספר סופי מאיברי הטור אינה משנה את עצם ההתכנסות/התבדרות שלו.
טענה 1.10. יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים מתכנסים ויהי \(c\in\MKreal\).
אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\geq0\) אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\geq0\).
אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\leq b_{n}\) אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\leq\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\).
\(\:\)
2 טורים חיוביים
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה,
אם \(a_{n}\)אי-שלילי לכל \(n\in\MKnatural\) נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור חיובי.
אם \(a_{n}\)חיובי לכל \(n\in\MKnatural\) נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור חיובי ממש.
אם \(a_{n}\)אי-חיובי לכל \(n\in\MKnatural\) נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור שלילי.
אם \(a_{n}\)שלילי לכל \(n\in\MKnatural\) נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור שלילי ממש.
\(\clubsuit\)
סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא סדרה מונוטונית עולה ולכן אם היא חסומה אז הטור מתכנס ואם אינה חסומה אז הטור שואף לאינסוף (אלו שתי האפשרויות היחידות כמובן), זוהי הסיבה העיקרית לעניין בטורים חיוביים.
\(\clubsuit\)
כמובן שכל מה שנאמר על טורים חיוביים נכון גם על טורים שליליים (עם השינויים הנדרשים).
המשפט הזה בעצם מפרמל את האינטואיציה שלנו לגבי הקשר בין קצב בשאיפה לאפס של האיבר הכללי לבין התכנסות הטור.
\(\clubsuit\)
הסעיף השני הוא טריוויאלי, הוא אומר שישנם אינסוף ערכים של \(n\in\MKnatural\) עבורם \(a_{n}\geq1\)...
\(\clubsuit\)
סעיף1במסקנה שקול לסעיף1במשפט אף בסעיף2הדבר אינו נכון.
\(\clubsuit\)
מבחן השורש של קושי חזק יותר ממבחן המנה של ד'אלמבר שכן אם קיימים \(N\in\MKnatural\) ו-\(q\in\left(0,1\right)\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q\) אז עבור אותו \(N\) מתקיים גם \(a_{n}\leq a_{N+1}\cdot q^{n}\) לכל \(N+1<n\in\MKnatural\) ומכאן ש-\(\sqrt[n]{a_{n}}\leq\sqrt[n]{a_{N+1}}\cdot q\) ולכן:\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{a_{N+1}}\cdot q\right)=q\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{N+1}}=q\cdot1=q<1
\]
\(\clubsuit\)
גם כאן סעיף1במסקנה שקול לסעיף1במשפט אף בסעיף2הדבר אינו נכון.
\(\clubsuit\)
אופנר הציג את המשפט קצת אחרת: את הדרישה בסעיף2החליפה הדרישה ש-\(\begin{alignedat}{1}\liminf_{n\rightarrow\infty}r_{n}>1\end{alignedat}
\) (אלו דרישות שקולות) ואת הדרישה בסעיף2החליפה הדרישה ש-\(\begin{alignedat}{1}\limsup_{n\rightarrow\infty}r_{n}<1\end{alignedat}
\) (דרישה זו נובעת מהדרישה שלעיל).
\(\clubsuit\)
מבחן ראבה הוא שכלול של מבחן המנה של ד'אלמבר: הוא יצליח בכל מקום שבו מבחן המנה מצליח1אם קיים \(q\in\left(0,1\right)\) כך ש-\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<q\) ממקום מסוים ואילך אז מכיוון ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot\left(1-q\right)=\infty\) נקבל ממשפט הפרוסה שגם \(\lim_{n\rightarrow\infty}r_{n}=\infty\) ובפרט \(r_{n}>1\) ממקום מסוים ואילך, ואם \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq1\) ממקום מסוים ואילך אז \(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq0\) מאותו מקום ואילך ולכן גם \(r_{n}\leq0\) עבור \(n\) גדול דיו. אך הוא עשוי להצליח גם במקרים נוספים.
הגדרה 2.2. נאמר שהמכפלה האינסופית \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\)מתכנסת אם הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{N\rightarrow\infty}P_{N}\end{alignedat}
\) קיים (במובן הצר) ושונה מ-\(0\)2הגבלה זו נועדה כדי להסיר את המקרים בהם יש אפסים ב-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), אנו משלמים על כך מחיר מסוים מפני שישנן סדרות שאין בהן אפסים ולמרות זאת מקיימות \(\lim_{N\rightarrow\infty}P_{N}=0\) אך בשביל זה יש לנו את הגדרת הגבול של סדרה..
משפט 2.3. מבחן ההשוואה יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים חיוביים, אם קיימים \(0<c\in\MKreal\) ו-\(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\leq c\cdot b_{n}\) אז:
אם \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתכנס אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתבדר (שואף ל-\(\infty\)) אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתבדר3למעשה סעיף זה שקול לסעיף הראשון..
מסקנה 2.4. יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים חיוביים, אם קיימים \(\alpha,\beta\in\MKreal\) כך שהחל ממקום מסוים ואילך מתקיים \(0<\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta\) אז הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד4כלומר אם אחד מהם מתכנס/מתבדר גם רעהו מתכנס/מתבדר..
מסקנה 2.5. מבחן ההשוואה הגבולי יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים חיוביים, אם הגבול \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}\) קיים וגדול מ-\(0\) אז הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד (=אם אחד מהם מתכנס/מתבדר גם רעהו מתכנס/מתבדר).
משפט 2.6. \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים חיוביים, אם קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\) אז:
אם \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתכנס אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתבדר (שואף ל-\(\infty\)) אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתבדר (שואף ל-\(\infty\))5ושוב, סעיף זה שקול לסעיף הראשון..
הוכחה. מההנחה לכל \(1<K\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\frac{a_{N+K}}{a_{N+1}}=\prod_{n=N+1}^{N+K}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq\prod_{n=N+1}^{N+K}\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_{N+K}}{b_{N+1}}
\]ומכאן שגם:\[
a_{N+K}\leq\frac{a_{N+1}}{b_{N+1}}\cdot b_{N+K}
\]ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים נקבל את סעיף1של המשפט (עד כדי הכפלה בקבוע \(\frac{a_{N+1}}{b_{N+1}}\)) וסעיף2שקול לו.
משפט 2.7. מבחן השורש של קושי יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור חיובי.
אם קיימים \(q\in\left(0,1\right)\) ו-\(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\) אז הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
אם עבור אינסוף ערכים של \(n\) מתקיים \(\sqrt[n]{a_{n}}\geq1\) אז הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתבדר.
הוכחה. כדי להוכיח זאת די לשים לב לכך ש-\(\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\) גורר \(a_{n}\leq q^{n}\), להיזכר ש-\(\left|q\right|<1\) גורר ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}q^{n}=\frac{1}{1-q}\) ולהפעיל את מבחן ההשוואה.
אם \(\begin{alignedat}{1}\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}<1\end{alignedat}
\) אז \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\) מתכנס.
אם \(\begin{alignedat}{1}\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}>1\end{alignedat}
\) אז \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\) מתבדר.
משפט 2.9. מבחן המנה של ד'אלמבר6ערך בוויקיפדיה: ז'אן לה רון ד'אלמבר. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור חיובי כך ש-\(a_{n}>0\) ממקום מסוים ואילך.
אם קיים \(q\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q\) ממקום מסוים ואילך אז הטור מתכנס.
אם מתקיים \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq1\) ממקום מסוים ואילך אז הטור מתבדר.
הוכחה. גם כאן המשפט נובע ישירות מהשוואה לטור הנדסי.
אם \(\begin{alignedat}{1}\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\end{alignedat}
<1\) אז \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\) מתכנס.
אם \(\begin{alignedat}{1}\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\end{alignedat}
>1\) אז \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\) מתבדר.
דוגמה 2.11. הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\beta}}\) מתכנס אם \(\beta>1\) ומתבדר אם \(\beta\leq1\).
הוכחה. הטור מתבדר אם \(\beta\leq1\) מכיוון שאז לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\frac{1}{n^{\beta}}\geq\frac{1}{n}\), לכן נתמקד במקרים שבהם \(1<\beta\). לכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\sum_{n=1}^{2^{m}-1}\frac{1}{n^{\beta}} & =1+\left(\frac{1}{2^{\beta}}+\frac{1}{3^{\beta}}\right)+\left(\frac{1}{4^{\beta}}+\frac{1}{5^{\beta}}+\frac{1}{6^{\beta}}+\frac{1}{7^{\beta}}\right)+...+\sum_{n=2^{m-1}}^{2^{m}-1}\frac{1}{n^{\beta}}\\
& <1+2\cdot\frac{1}{2^{\beta}}+4\cdot\frac{1}{4^{\beta}}+...+2^{m-1}\cdot\frac{1}{\left(2^{m-1}\right)^{\beta}}\\
& =1+\frac{1}{2^{\beta-1}}+\frac{1}{4^{\beta-1}}+...+\frac{1}{\left(2^{m-1}\right)^{\beta-1}}\\
& =1+2^{1-\beta}+4^{1-\beta}+...+\left(2^{m-1}\right)^{1-\beta}\\
& =\left(2^{1-\beta}\right)^{0}+\left(2^{1-\beta}\right)^{1}+\left(2^{1-\beta}\right)^{2}+...+\left(2^{1-\beta}\right)^{m-1}=\sum_{n=0}^{m-1}\left(2^{1-\beta}\right)^{n}
\end{align*}\]כעת נזכר ש-\(1<\beta\) וא"כ \(1-\beta<0\) וממילא \(2^{1-\beta}<1\), כלומר \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(2^{1-\beta}\right)^{n}\) הוא טור מתכנס (מדובר בסכומים חלקיים של סדרה הנדסית המתכנסת ל-\(0\)). מכאן שלסדרת הסכומים החלקיים של \(\left(\frac{1}{n^{\beta}}\right)_{n=1}^{\infty}\) יש תת-סדרה חסומה מלעיל ומכיוון שסדרת הסכומים החלקיים היא סדרה מונוטונית עולה הדבר גורר שגם היא עצמה חסומה מלעיל7יהי \(M\) חסם מלעיל של תת-הסדרה, לכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(n<N\in\MKnatural\) כך ש-\(a_{N}\) הוא איבר בתת הסדרה ומתקיים \(a_{n}\leq a_{N}\leq M\)..
משפט 2.12. מבחן ראבה (Raabe)8ערך בוויקיפדיה האנגלית: Joseph Ludwig Raabe. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור חיובי ממש ותהא \(\left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
r_{n}:=n\cdot\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)
\]
אם מתקיים \(r_{n}\leq1\) ממקום מסוים ואילך אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתבדר.
אם מתקיים \(r_{n}>1\) ממקום מסוים ואילך אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
הוכחה. ראשית נשים לב לכך שאם מתקיים\(r_{n}\leq1\) ממקום מסוים ואילך אז קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
n\cdot\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)\leq0
\]כלומר מתקיים \(1\leq\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) ממקום מסוים ואילך ולכן ע"פ מבחן המנה של ד'אלמבר \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתבדר.
א"כ הוכחנו את הסעיף הראשון, כעת נניח שמתקיים \(r_{n}>1\) ממקום מסוים ואילך ונביא שתי הוכחות עבור הסעיף השני.
הוכחה. הוכחה1- משתמשת רק בידע שכבר נלמד9מצאתי אותה בספר "חשבון אינפיניסטימלי" של מיכאל הוכמן. תהיינה \(\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(b_{n}:=n\cdot a_{n+1}\) לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) (א"כ \(b_{n}\geq0\) לכל \(n\in\MKnatural_{0}\)) ו-\(\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(c_{n}:=b_{n-1}-b_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\). א"כ לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sum_{n=1}^{N}c_{n}=\sum_{n=1}^{N}\left(b_{n-1}-b_{n}\right)=b_{0}-b_{N}=0-b_{N}=-b_{N}
\]כלומר הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\) והסדרה \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסים ומתבדרים ביחד. כעת נשים לב לכך שלכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[\begin{align*}
c_{n+1}=b_{n}-b_{n+1} & =n\cdot a_{n+1}-\left(n+1\right)\cdot a_{n+2}=\left(n+1\right)\cdot a_{n+1}-\left(n+1\right)\cdot a_{n+2}-a_{n+1}\\
& =\left(n+1\right)\cdot\left(a_{n+1}-a_{n+2}\right)-a_{n+1}=a_{n+1}\cdot\left(\left(n+1\right)\cdot\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\right)-\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}\right)\\
& =a_{n+1}\cdot\left(\left(n+1\right)\cdot\left(1-\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\right)-1\right)
\end{align*}\]ומכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\frac{c_{n}}{a_{n}}=n\cdot\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)-1=r_{n}-1
\]אם מתקיים \(r_{n}>1\) ממקום מסוים ואילך אז מתקיים \(c_{n}=b_{n}-b_{n+1}>0\) ממקום מסוים ואילך, כלומר עבור \(N\in\MKnatural\) גדול דיו הטור \(\sum_{n=N}^{\infty}c_{n}\) הוא טור חיובי והסדרה \(\left(b_{n}\right)_{n=N}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ולכן מתכנסת. מכאן שגם \(\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\) ו-\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסים ומתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}c_{n}=-\lim_{N\rightarrow\infty}b_{N}
\]מצד שני אם \(r>1\) אז מתקיים:\[
\frac{c_{n}}{a_{n}}=n\cdot\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)-1>1
\]ממקום מסוים ואילך ולכן ממבחן ההשוואה נובע שהתכנסות הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\) גוררת את התכנסות הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\).
הוכחה. הוכחה2- משתמשת בידע על אינטגרלים10ניתנה ע"י דניאל אופנר באחד התרגולים. נסמן:\[
r:=\liminf_{n\rightarrow\infty}r_{n},\ \overline{r}=\frac{r+1}{2}
\]
הוכחה. מההנחה נובע ש-\(r>1\) ולכן \(r>\overline{r}\), ומכאן שקיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N\leq n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
n\cdot\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=r_{n}>\overline{r}
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>\frac{\overline{r}}{n}\\
& \Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1-\frac{\overline{r}}{n}\leq e^{-\frac{\overline{r}}{n}}
\end{align*}\]יהי \(N\) כנ"ל ומכאן שלכל \(N\leq n\in\MKnatural\) מתקיים\[
a_{n+1}=a_{N}\cdot\prod_{k=N}^{n}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}<a_{N}\cdot\prod_{k=N}^{n}e^{-\frac{\overline{r}}{n}}=a_{n}\cdot e^{-\sum_{k=N}^{n}\frac{\overline{r}}{k}}=a_{n}\cdot e^{-\overline{r}\cdot\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k}}
\]לכל \(N\leq n\in\MKnatural\) מתקיים11השטח מתחת לגרף של \(\frac{1}{x}\) בין הנקודות \(N\) ו-\(n+1\) הוא בדיוק \(\ln\left(n+1\right)-\ln\left(N\right)\) (נראה זאת כשנלמד את הנוסחה היסודית של החשבון האינטגרלי), ואילו הסכום \(\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k}\) מייצג את השטח מתחת לגרף של פונקציית המדרגות \(\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor }\) בין \(N\) ל-\(n+1\); מהעובדה שלכל \(0<x\in\MKreal\) מתקיים \(\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor }\geq\frac{1}{x}\) נובע שהא"ש מתקיים גם בין השטחים. מבחינה פורמלית הנימוק הוא:\[
\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k}=\intop_{N}^{n+1}\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor }dx\geq\intop_{N}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln\left(n+1\right)-\ln\left(N\right)
\]:\[
\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k}\geq\ln\left(n+1\right)-\ln\left(N\right)
\]ולכן גם:\[\begin{align*}
-\overline{r}\cdot\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k} & \leq-\overline{r}\cdot\left(\ln\left(n+1\right)-\ln\left(N\right)\right)=\overline{r}\cdot\ln\left(N\right)-\overline{r}\cdot\ln\left(n+1\right)\\
& =\ln\left(N^{\overline{r}}\right)-\ln\left(\left(n+1\right)^{\overline{r}}\right)=\ln\left(\frac{N^{\overline{r}}}{\left(n+1\right)^{\overline{r}}}\right)
\end{align*}\]מכאן נובע שלכל \(N\leq n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
a_{n+1}\leq a_{N}\cdot e^{-\overline{r}\cdot\sum_{k=N}^{n}\frac{1}{k}}\leq a_{N}\cdot e^{\overline{r}\cdot\ln\left(N\right)-\overline{r}\cdot\ln\left(n+1\right)}=a_{N}\cdot\frac{N^{\overline{r}}}{\left(n+1\right)^{\overline{r}}}
\]והרי \(\overline{r}>1\) ולכן ע"פ הדוגמה שלעיל (2.9) נובע ממבחן ההשוואה ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
משפט 2.13. מבחן העיבוי של קושי תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חיובית ומונוטונית (יורדת) המתכנסת ל-\(0\). הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אם"ם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\)12טור זה נקרה "הטור המעובה" של \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ומכאן שם המשפט. מתכנס.
הוכחה. ראשית, מכיוון ש-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) חיובית מדובר בטורים חיוביים וככאלה הם גבולות של סדרות מונוטוניות עולות (של סכומים חלקיים).
\(\Leftarrow\) נניח שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס. מהיות \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מונוטונית יורדת וחיובית נובע שלכל \(N\in\MKnatural\) ולכל \(n\in\MKnatural\) המקיים \(2^{N-1}\leq n<2^{N}\) מתקיים \(0\leq a_{2^{N}}\leq a_{n}\). מכאן שלכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
0\leq2^{{\color{red}N-1}}\cdot a_{2^{N}}\leq\sum_{n=2^{N-1}}^{2^{N}-1}a_{n}
\]ומכאן שגם:\[
0\leq2^{{\color{red}N}}\cdot a_{2^{N}}\leq\sum_{n=2^{N-1}}^{2^{N}-1}{\color{red}2}a_{n}
\]וממילא:\[
0\leq\sum_{n=1}^{N}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\leq\sum_{n=1}^{2^{N}-1}2a_{n}\leq\sum_{n=1}^{2^{N}}2a_{n}
\]מטענה 1.4 ומהיות \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס נובע שגם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}2a_{n}\) מתכנס, כלומר הסדרה \(\left(\sum_{n=1}^{N}2a_{n}\right)_{N=1}^{\infty}\) מתכנסת. הסדרה \(\begin{alignedat}{1}\left(\sum_{n=1}^{2^{N}}2a_{n}\right)_{N=1}^{\infty}\end{alignedat}
\) היא תת-סדרה של הסדרה \(\begin{alignedat}{1}\left(\sum_{n=1}^{N}2a_{n}\right)_{N=1}^{\infty}\end{alignedat}
\) ולכן ממשפט הירושה היא מתכנסת וממילא גם חסומה. מכאן שגם הסדרה \(\begin{alignedat}{1}\left(\sum_{n=1}^{N}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\right)_{N=1}^{\infty}\end{alignedat}
\) היא סדרה חסומה ומכיוון שהיא מונוטונית עולה הדבר גורר שהיא מתכנסת, כלומר הגבול \(\begin{alignedat}{1}\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\end{alignedat}
\) קיים והטור \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\end{alignedat}
\) מתכנס.
\(\Rightarrow\) נניח שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\) מתכנס. מהיות \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מונוטונית יורדת וחיובית נובע שלכל \(N\in\MKnatural\) ולכל \(n\in\MKnatural\) המקיים \(2^{N}\leq n<2^{N+1}\) מתקיים: \(0\leq a_{n}\leq a_{2^{N}}\). מכאן שלכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
0\leq\sum_{n=2^{N}}^{2^{N+1}-1}a_{n}\leq2^{N}\cdot a_{2^{N}}
\]ומכאן שגם:\[
0\leq\sum_{n=2}^{2^{N+1}-1}a_{n}\leq\sum_{n=1}^{N}2^{n}\cdot a_{2^{n}}
\]מההנחה נובע שהסדרה \(\left(\sum_{n=1}^{N}\left(2^{n}\cdot a_{2^{n}}\right)\right)_{N=1}^{\infty}\) מתכנסת וממילא חסומה ומכאן שגם \(\left(\sum_{n=2}^{2^{N+1}-1}a_{n}\right)_{N=1}^{\infty}\) היא סדרה חסומה. הסדרה \(\begin{alignedat}{1}\left(\sum_{n=2}^{2^{N+1}-1}a_{n}\right)_{N=1}^{\infty}\end{alignedat}
\) היא תת-סדרה של הסדרה \(\begin{alignedat}{1}\left(\sum_{n=2}^{N}a_{n}\right)_{N=2}^{\infty}\end{alignedat}
\) שכזכור היא סדרה מונוטונית עולה ולכן אם תת-סדרה שלה חסומה אז גם היא עצמה חסומה וממילא מתכנסת13ראו הערה 5בהוכחה של דוגמה 2.9., כלומר הגבול \(\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=2}^{N}a_{n}\) קיים והטור \(\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}\) מתכנס; טור זה הוא ה-\(1\)-זנב של הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ולכן גם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
משפט 2.14. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חיובית.
אם \(a_{n}<1\) לכל \(n\in\MKnatural\) אז הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אם"ם המכפלה \(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)\) מתכנסת.
הוכחה. \(\:\)
נשים לב שהן \(\begin{alignedat}{1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\end{alignedat}
\) והן \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+a_{n}\right)\end{alignedat}
\) הם גבולות של סדרות מונוטוניות עולות ולכן כל שעלינו להוכיח הוא שהסדרה של אחד חסומה אם"ם זו של רעהו חסומה. מחוק הפילוג נובע ש לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
1+\sum_{n=1}^{N}a_{n}\leq\prod_{n=1}^{N}\left(1+a_{n}\right)
\]מצד שני הוכחנו בקורס הקודם שלכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(1+x\leq\exp\left(x\right)\), א"כ לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\prod_{n=1}^{N}\left(1+a_{n}\right)\leq\exp\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\right)
\]והרי אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) חסום נובע שגם \(\exp\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\right)\) חסומה ולכן קיבלנו חסם על המכפלה \(\prod_{n=1}^{N}\left(1+a_{n}\right)\).
נניח ש-\(a_{n}<1\) לכל \(n\in\MKnatural\), מכאן שסדרת המכפלות החלקיות של \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)\end{alignedat}
\) היא סדרה חיובית מונוטונית יורדת ולכן מתכנסת; א"כ המכפלה האינסופית עצמה מתכנסת אם"ם הגבול של סדרת המכפלות החלקיות שונה מ-\(0\), וזה שקול לכך שהמכפלה האינסופית \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-a_{n}}\end{alignedat}
\) מתכנסת. תהא \(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
b_{n}:=\frac{a_{n}}{1-a_{n}}=\frac{a_{n}+1-a_{n}}{1-a_{n}}-1=\frac{1}{1-a_{n}}-1
\]\(\left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה חיובית ולכן מהסעיף הקודם נובע שהמכפלה \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+b_{n}\right)\end{alignedat}
\) מתכנסת אם"ם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתכנס. נשים לב לכך ש-\(b_{n}\geq a_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\) ולכן ממבחן ההשוואה אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתכנס אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס, מצד שני, אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אז \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) ולכן \(a_{n}<\frac{1}{2}\) עבור \(n\) גדול דיו ומכאן שמתקיים גם \(b_{n}\leq2a_{n}\) עבור \(n\) גדול דיו ושוב ממבחן ההשוואה נקבל שאם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אז גם \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\). לסיכום קיבלנו שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אם"ם המכפלה האינסופית \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+b_{n}\right)\end{alignedat}
\) מתכנסת וזו שווה למפלה האינסופית \(\begin{alignedat}{1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-a_{n}}\end{alignedat}
\) וכבר ראינו שהתכנסותה של האחרונה שקולה לכך שהמכפלה האינסופית \(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)\) מתכנסת.
3 טורים בעלי סימנים משתנים
3.1 הגדרות
למה 3.1. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה, אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) מתכנס אז גם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס.
הגדרה 3.2. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור.
אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) מתכנס נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)מתכנס בהחלט.
אם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס אך הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) אינו מתכנס, נאמר שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)מתכנס בתנאי.
\(\clubsuit\)
טור הערכים המוחלטים הוא טור חיובי ולכן ניתן להשתמש במבחני ההתכנסות של טורים חיוביים כדי לבדוק אם טור נתון מתכנס בהחלט (וממילא מתכנס בעצמו).
\(\clubsuit\)
מבחן דיריכלה הוא בעצם הכללה של משפט לייבניץ, שם \(b_{n}=\left(-1\right)^{n+1}\).
הגדרה 3.3. נאמר שטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור חסום אם סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה.
\(\:\)
משפט 3.4. משפט לייבניץ תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה חיובית, מונוטונית יורדת ומתכנסת ל-\(0\).
ה-\(m\) זנב של הטור מקיים \(\left|r_{m}\right|\leq a_{m+1}\) (כאשר \(m\in\MKodd\) מתקיים \(-a_{m+1}<r_{m}\leq0\) וכאשר \(m\in\MKeven\) מתקיים \(0\leq r_{m}<a_{m+1}\)).
הוכחה. תהא \(\left(S_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) סדרת הסכומים החלקיים של הטור, כלומר הסדרה מוגדרת ע"י (לכל \(N\in\MKnatural\)):\[
\sum_{n=1}^{N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)
\]לפני שנמשיך נשים לב שמהמונוטוניות של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נובע כי לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}-a_{n+1}\geq0\) ו-\(-\left(a_{n}-a_{n+1}\right)\leq0\).
לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
S_{2\left(N+1\right)}-S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N+2}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)-\sum_{n=1}^{2N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=a_{2N+1}-a_{2N+2}\geq0
\]מכאן שתת-הסדרה \(\left(S_{2N}\right)_{N=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית עולה, מצד שני לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים גם:\[
S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-...-\left(a_{2N-2}-a_{2N-1}\right)-a_{2N}\leq a_{1}
\]שהרי לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\geq a_{n+1}\) וא"כ \(0\geq-a_{n}+a_{n+1}=-\left(a_{n}-a_{n+1}\right)\) ומכאן שתת-הסדרה הנ"ל חסומה מלעיל ולכן היא סדרה מתכנסת, נסמן את גבולה ב-\(S\). לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
S_{2N-1}+a_{2N}=\sum_{n=1}^{2N-1}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)+a_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=S_{2N}
\]מאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{N\rightarrow\infty}S_{2N-1}=\lim_{N\rightarrow\infty}S_{2N}+\lim_{N\rightarrow\infty}a_{2N}=S+0=S
\]כלומר תתי-הסדרות הנוצרות ע"י האינדקסים האי-זוגיים והזוגיים (בנפרד) מתכנסות לאותו גבול ולכן גם כל תת-סדרה של \(\left(S_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) תתכנס לגבול זה ומכאן שגם \(\left(S_{N}\right)_{N=1}^{\infty}\) עצמה מתכנסת אליו.\[
\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}S_{N}=S
\]כלומר הוכחנו את סעיף1במשפט.
נשים לב כי לכל \(N\in\MKnatural_{0}\) מתקיים (מאותו נימוק שלעיל):\[
S_{2N+1}=\sum_{n=1}^{2N+11}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-...-\left(a_{2N}-a_{2N+1}\right)\leq a_{1}
\]וגם:\[
S_{2N+1}=S_{2N}+a_{2N+1}\geq S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+...+\left(a_{2N-3}-a_{2N-2}\right)\geq0
\]וא"כ לכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
0\leq\sum_{n=1}^{N}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)\leq a_{1}
\]ומכאן שגם:\[
0\leq\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\right)\leq a_{1}
\]ובכך הוכח הסעיף השני.
כדי להוכיח את הסעיף השלישי יש לשים לכך שלכל \(m\in\MKeven\) מתקיים \(m+1\in\MKodd\) וא"כ ההוכחה שנתנו עבור הטור כולו תופסת גם במקרה זה; ולכל \(m\in\MKodd\) מתקיים \(m+1\in\MKeven\) ולכן יהיה צורך להכפיל את כל אי-השוויונות בהוכחה ב-\(-1\), כלומר להפוך את כיוונם.
מסקנה 3.5. לכל סדרה מונוטונית \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) המתכנסת ל-\(0\) הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{n}\cdot a_{n}\right)\) מתכנס.
למה 3.6. הטרנספורמציה של אבל (Abel)14ערך בוויקיפדיה: נילס הנריק אבל. יהיו \(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{m}\in\MKreal\) ולכל \(m\geq k\in\MKnatural\) נגדיר \(B_{k}:=\sum_{i=1}^{k}\beta_{i}\); מתקיים השוויון הבא:\[
\sum_{i=1}^{m}\left(\alpha_{i}\cdot\beta_{i}\right)=\alpha_{m}\cdot B_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}\left(B_{i}\cdot\left(\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right)\right)
\]
למה 3.7. נשתמש בסימוני הטרנספורמציה של אבל. אם קיים \(L\in\MKreal\) כך שלכל \(m\geq i\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|B_{i}\right|\leq L\), ובנוסף, הסדרה \(\left(\alpha_{i}\right)_{i=1}^{m}\) היא סדרה מונוטונית אזי מתקיים הא"ש הבא:\[
\left|\sum_{i=1}^{m}\left(\alpha_{i}\cdot\beta_{i}\right)\right|\leq L\cdot\left(2\left|\alpha_{m}\right|+\left|\alpha_{1}\right|\right)
\]
הוכחה. מהיות \(\left(\alpha_{i}\right)_{i=1}^{m}\) מונוטונית נובע שכל ההפרשים מהצורה \(\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\) (לכל \(m-1\geq i\in\MKnatural\)) הם בעלי אותו סימן.\[
\Rightarrow{\color{red}\sum_{i=1}^{m-1}\left|\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right|=}\left|\sum_{i=1}^{m-1}\left(\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right)\right|{\color{red}=\left|\alpha_{m}-\alpha_{1}\right|}
\]מכאן, ע"פ הטרנספורמציה של אבל וא"ש המשולש, שמתקיים:\[\begin{align*}
\left|\sum_{i=1}^{m}\left(\alpha_{i}\cdot\beta_{i}\right)\right| & =\left|\alpha_{m}\cdot B_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}\left(B_{i}\cdot\left(\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right)\right)\right|\\
& \leq\left|\alpha_{m}\cdot B_{m}\right|+\sum_{i=1}^{m-1}\left|B_{i}\cdot\left(\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right)\right|\\
& =\left|\alpha_{m}\right|\cdot\left|B_{m}\right|+\sum_{i=1}^{m-1}\left|B_{i}\right|\cdot\left|\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right|\\
& \leq\left|\alpha_{m}\right|\cdot L+\sum_{i=1}^{m-1}L\cdot\left|\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right|\\
& =L\cdot\left(\left|\alpha_{m}\right|+{\color{red}\sum_{i=1}^{m-1}\left|\alpha_{i+1}-\alpha_{i}\right|}\right)\\
& =L\cdot\left(\left|\alpha_{m}\right|+{\color{red}\left|\alpha_{m}-\alpha_{1}\right|}\right)\\
& \leq L\cdot\left(2\left|\alpha_{m}\right|+\left|\alpha_{1}\right|\right)
\end{align*}\]
משפט 3.8. מבחן דיריכלה יהא \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טור חסום ותהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מונוטונית המתכנסת ל-\(0\), הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)\) מתכנס.
הוכחה. תהא \(\left(S_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת הסכומים החלקיים של \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\), מהנתון נובע שקיים \(M\in\MKreal\) כך ש-\(\left|S_{n}\right|\leq M\) לכל \(n\in\MKnatural\). יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), מהיות \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת ל-\(0\) נובע שקיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{6M}\) (יהי \(N\) כזה). יהיו \(N<m\in\MKnatural\) ו-\(k\in\MKnatural\), לכל \(k\geq l\in\MKnatural\) נגדיר:\[
B_{l}:=\sum_{n=m+1}^{m+l}b_{n}=S_{m+l}-S_{m}
\]א"כ לכל \(k\geq l\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left|B_{l}\right|\leq\left|S_{m+l}\right|+\left|S_{m}\right|\leq2M
\]ומכאן, ע"פ הלמה האחרונה (3.4) ומהיות \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מונוטונית, שמתקיים:\[
\left|\sum_{n=m+1}^{m+k}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)\right|\leq2M\cdot\left(2\left|a_{m+k}\right|+\left|a_{m+1}\right|\right)<2M\cdot\left(\frac{2\varepsilon}{6M}+\frac{\varepsilon}{6M}\right)=\varepsilon
\]מתנאי קושי נובע שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)\) מתכנס.
משפט 3.9. מבחן אבל (Abel) יהא \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טור מתכנס ותהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה מונוטונית וחסומה, הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)\) מתכנס.
הוכחה. הסדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא מונוטונית וחסומה ולכן היא מתכנסת, נגדיר \(a:=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\) ומכאן ש-\(\left(a_{n}-a\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מונוטונית המתכנסת ל-\(0\). ממבחן דיריכלה נובע שהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(a_{n}-a\right)\cdot b_{n}\right)\) מתכנס; כעת נשים לב לכך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left(a_{n}-a\right)\cdot b_{n}=a_{n}\cdot b_{n}-a\cdot b_{n}\), מכאן שע"פ טענה 1.4הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(-a\cdot b_{n}\right)\) מתכנס וממילא (ע"פ אותה טענה אך מסעיף אחר) גם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)\) מתכנס.
\(\:\)
4 הכנסת סוגריים ושינוי סדר
4.1 הגדרות
הגדרה 4.1. נאמר שהטור \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\)מתקבל מהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)ע"י הכנסת סוגריים אם קיימת תת-סדרה \(\left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sigma_{k}=\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}a_{l}
\]וזאת כאשר נסמן \(n_{0}=0\).
לכל טור מתכנס, כל הטורים המתקבלים ממנו ע"י הכנסת סוגריים מתכנסים לאותו סכום.
לכל טור,אם קיים טור המתקבל ממנו ע"י הכנסת סוגריים כך שבכל סוגריים מופיעים איברים בעלי אותו סימן15לעניין זה \(0\) נחשב שווה סימן הן לחיוביים והן לשליליים. אז התכנסות הטור שהתקבל ע"י הכנסת סוגריים גוררת את התכנסות הטור המקורי לאותו סכום.
הוכחה. כדי להוכיח את הסעיף הראשוןדי בהבנה שהטור המתקבל ע"י הכנסת סוגריים הוא גבול של תת-סדרה של סדרת הסכומים החלקיים (של הטור המקורי16שלוש פעמים "של" בשרשור אחד...), א"כ נעבור להוכחת הסעיף השני. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור, יהי \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) טור המתקבל ממנו ע"י הכנסת סוגריים ותהא \(\left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}\) תת-סדרה של \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך ש-\(\sigma_{k}=\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}a_{l}\) לכל \(k\in\MKnatural\) (נסמן \(n_{0}:=0\)). נניח ש-\(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) מתכנס (נסמן את סכומו ב-\(S\)) ושלכל \(k\in\MKnatural\) האיברים ב-\(\left\{ a_{n_{k-1}+1},a_{n_{k-1}+2},...,a_{n_{k}}\right\} \) בעלי אותו סימן. יהי \(m\in\MKnatural\), קיים \(k\in\MKnatural\) יחיד כך ש-\(n_{k}<m\leq n_{k+1}\)17לקבוצה \(\left\{ n_{k}\mid k\in\MKnatural_{0},\ n_{k}<m\right\} \) יש איבר מקסימלי והיא אינה ריקה שכן \(n_{0}<m\) לכל \(m\in\MKnatural\)., יהי \(k\) כנ"ל.\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|\left(\sum_{l=1}^{m}a_{l}\right)-S\right| & =\left|\left(\sum_{l=1}^{n_{k}}a_{l}\right)+\left(\sum_{l=n_{k}+1}^{m}a_{l}\right)-S\right|\\
& =\left|\left(\sum_{l=1}^{k}\sigma_{l}\right)-S+\left(\sum_{l=n_{k}+1}^{m}a_{l}\right)\right|\\
& \leq\left|\left(\sum_{l=1}^{k}\sigma_{l}\right)-S\right|+\left|\sum_{l=n_{k}+1}^{m}a_{l}\right|\\
& \leq\left|\left(\sum_{l=1}^{k}\sigma_{l}\right)-S\right|+\left|\sigma_{k+1}\right|
\end{align*}\]כלומר לכל \(m\in\MKnatural\) מתקיים אי-השוויון הנ"ל. כעת נשים לב לכך ש-\(k\longrightarrow\infty\) כאשר \(m\longrightarrow\infty\)18ראינו לעיל שלכל \(m\in\MKnatural\), \(k\) הוגדר להיות \(\max\left\{ n_{k}\mid k\in\MKnatural_{0},\ n_{k}<m\right\} \). ושהביטוי שבצד ימין של אי-השוויון מתכנס ל-\(0\) כאשר \(k\longrightarrow\infty\) (ובפרט כאשר \(m\longrightarrow\infty\)), שהרי התכנסות \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) מחייבת ש-\(\lim_{k\rightarrow\infty}\sigma_{k+1}=0\) ואת \(S\) הגדרנו להיות הסכום של הטור \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) (כלומר הגבול של סדרת הסכומים החלקיים); מכאן שגם הביטוי שבצד שמאל מתכנס ל-\(0\), כלומר סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת ל-\(S\) ומהגדרה \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S\).
משפט 4.3. הוספת סוגריים מאורך חסום יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) טור. תהא \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרת אינדקסים עולה ממש ונסמן \(n_{0}:=0\). תהא \(\left(\sigma_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת כך (לכל \(k\in\MKnatural\)):\[
\sigma_{k}=\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}a_{l}
\]א"כ הטור \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) מתקבל מהטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ע"י הכנסת סוגריים. אם קיים \(M\in\MKreal\) כך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(n_{k}-n_{k-1}<M\) וגם \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) אז הטור \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) מתכנס אם"ם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס ואז הם מתכנסים לאותו סכום.
הוכחה. כדי להוכיח את המשפט עלינו לשים לב לכך שכל איבר בסדרת הסכומים החלקיים של \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) קרוב עד כדי סכום \(M\) האיברים המתאימים לאיבר בסדרת הסכומים החלקיים של \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) ושככל שמתקדמים בסדרה אחת יש להתקדם גם בשנייה עד לאינסוף, כעת מכיוון ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) סכומם של \(M\) האיברים הנ"ל מתכנס ל-\(0\) אף הוא כשמתקדמים בסדרה ולכן הגבול של ההפרש בין שתי הסדרות הוא \(0\) ולכן אם אחת מתכנסת גם רעותה מתכנסת ולאותו סכום, נוכיח זאת באופן פורמלי. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ויהי \(r\in\MKnatural\) כך שלכל \(n_{r}<n\in\MKnatural\) מתקיים \(\left|a_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{M}\) (מהעובדה ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) ו-\(\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}=\infty\) נובע שאכן קיים \(r\) כזה). יהי \(n_{r}<N\in\MKnatural\) ויהי \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(n_{k-1}<N\leq n_{k}\)19ראינו בהוכחה הקודמת איך מוצאים את ה-\(k\) הזה..\[
\Rightarrow\left|\sum_{j=1}^{k}\sigma_{j}-\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right|=\left|\sum_{j=1}^{n_{k}}a_{j}-\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right|=\left|\sum_{j=N+1}^{n_{k}}a_{j}\right|\leq\left|\sum_{j=N+1}^{N+M}a_{j}\right|\leq\sum_{j=N+1}^{N+M}\left|a_{j}\right|\leq M\cdot\frac{\varepsilon}{M}<\varepsilon
\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל נכון לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ומכאן שקיבלנו את המבוקש.
נשים לב שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
a_{n}=p_{n}-q_{n},\ \left|a_{n}\right|=p_{n}+q_{n}
\]
\(\clubsuit\)
כפי שנראה בהוכחת המשפט השיטה של רימן היא "להתנדנד" סביב הערך הרצוי לגבול או בין שני מספרים ממשיים / בין מספר ל-\(\infty\) / בין מספר ל-\(-\infty\)/ בין \(-\infty\) ל-\(\infty\), העובדה שהתכנסות הטור אומרת שהאיבר הכללי מתכנס ל-\(0\) גורמת לכך שכל ערך הנמצא בטווח הנדנוד הוא גבול חלקי של סדרת הסכומים החלקיים20כלומר קבוצת הגבולות החלקיים היא מקטע, ומכיוון שאם היא חסומה מלעיל/מלרע יש לה מקסימום/מינימום נדע שמקטע זה אינו קרן פתוחה / קטע פתוח / קטע חצי-פתוח, אלא מוכרח הוא להיות קטע סגור / קרן סגורה / כל הישר., וזאת משום שאנו עוברים בסביבתו בכל "איטרציה" של הנדנוד כשבכל פעם צעדינו הולכים וקטנים כך שאנו מתקרבים אליו יותר ויותר. נקודה נוספת שחשוב לשים לב אליה היא שא"א לבצע את התהליך הזה בדרך אחרת (שאינה "נדנוד") ולכן כל סידור של סדרת הסכומים החלקיים.
\(\clubsuit\)
עבור \(\pm\infty\) יש להחליף את \(S\) ב-\(\pm k\) בכל מקום שבו הוא מופיע בהוכחה21למעט בשלב האחרון כמובן, שבו יש להחליף את \(S\) ב-\(\pm\infty\) כדי לקבל \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}=\lim_{k\rightarrow\infty}A_{k}=\pm\infty\) (וכן בשורה האחרונה)..
\(\clubsuit\)
כדי שהטור המסודר מחדש לא יתכנס כלל יש להחליף את \(S\) בשני ביטויים התלויים ב-\(k\) שגבולם באינסוף שונה22ניתן גם להחליף סתם בשני מספרים קבועים שונים., את האחד יש לשים בקבוצה המגדירה את \(m_{k}\) כמינימום שלה ואת השני יש לשים בקבוצה המגדירה את \(n_{k}\) כמינימום שלה (לכל \(k\in\MKnatural\) כמובן); לאחר שעושים זאת אותה הוכחה תופסת גם למקרה זה (למעט שינויים זעירים המתבקשים מהחלפה זו ומכיוון שיש יותר מארבעה כאלה לא אפרטם כאן ואסמוך על תבונתו של הקורא).
משפט 4.4. \(\:\)
אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בהחלט אז גם הטורים \(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\) מתכנסים ומתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}-\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}
\]
אם הטורים \(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\) מתכנסים אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בהחלט.
מסקנה 4.5. אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בתנאי אז \(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}=\infty\) וגם \(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}=\infty\).
משפט 4.6. אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בהחלט, כל טור המתקבל ממנו ע"י שינוי סדר האיברים יתכנס לאותו הסכום.
הוכחה. נניח ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בהחלט, ממשפט 4.3נובע שהטורים \(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\) מתכנסים ומתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}-\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}
\]כעת מכיוון ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\) הם טורים חיוביים מתקיים גם:\[
\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}=\sum_{n\in\MKnatural}p_{n},\ \sum_{n=1}^{\infty}q_{n}=\sum_{n\in\MKnatural}q_{n}
\]ומכאן שמתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n\in\MKnatural}p_{n}-\sum_{n\in\MKnatural}q_{n}
\]
הוכחה. ולכן שינוי סדר האיברים אינו משפיע על התכנסות הטור וסכומו.
משפט 4.7. משפט רימן אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בתנאי אז לכל \(S\in\MKreal\) ניתן לסדר את איברי הטור כך שסכום הטור המסודר מחדש יתכנס ל-\(S\) או ל-\(\pm\infty\)23אין שום בעיה בניסוח של המשפט, הפסוק "לכל \(z\in\MKcomplex\) משפט פיתגורס נכון" הוא פסוק אמת.; כמו כן ניתן לסדרם כך שהטור המסודר מחדש לא יתכנס כלל.
הוכחה. יהי \(S\in\MKreal\) ונניח בהג"כ שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\neq0\). היות ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בתנאי נדע (ע"פ מסקנה4.4) שמתקיים \(\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}=\infty\) וגם \(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}=\infty\). נגדיר \(n_{0}:=m_{0}:=A_{0}:=0\); תהיינה \(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\), \(\left(m_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) (סדרות אינדקסים עולות ממש) ו-\(\left(A_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) המוגדרות כך (לכל \(k\in\MKnatural\))24ההגדרה כאן היא בעצם אינדוקטיבית, יש להגדיר (לפי הסדר) את \(m_{1}\), \(A_{1}\), \(n_{1}\) ו-\(A_{2}\) ורק אח"כ לעבור להגדרת \(m_{2}\), \(A_{3}\), \(n_{2}\) ו-\(A_{4}\) וחוזר חלילה...:\[\begin{align*}
m_{k} & :=\min\left\{ \begin{array}{c|c}
n\in\MKnatural_{0} & A_{2\left(k-1\right)}-\sum_{l=m_{k-1}+1}^{n}q_{l}<S\end{array}\right\} \\
A_{2k-1} & :=A_{2\left(k-1\right)}-\sum_{l=m_{k-1}+1}^{m_{k}}q_{l}\\
n_{k} & :=\min\left\{ \begin{array}{c|c}
n\in\MKnatural_{0} & A_{2k-1}+\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n}p_{l}>S\end{array}\right\} \\
A_{2k} & :=A_{2k-1}+\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}p_{l}
\end{align*}\]הרעיון מאחורי הגדרת \(\left(m_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) ו-\(\left(n_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) בצורה זו הוא שאנו סוכמים איברים שליליים עד שנעבור את \(S\) באיבר אחד בדיוק ואז עוברים לסכום איברים חיוביים עד שנעבור את \(S\) (לצד השני) באיבר אחד בדיוק וכך שוב ושוב. הסדרה \(\left(A_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\) "שומרת" את הסכום בכל מעבר על פני \(S\). נשים לב לכך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
A_{2\left(k-1\right)}-\sum_{l=m_{k-1}+1}^{m_{k}}q_{l} & <S\leq A_{2\left(k-1\right)}-\sum_{l=m_{k-1}+1}^{m_{k}-1}q_{l}\\
A_{2k-1}+\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}p_{l} & >S\geq A_{2k-1}+\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}-1}p_{l}
\end{align*}\]כמו כן לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים (ממש מהגדרה):\[\begin{align*}
A_{2k-1}-A_{2\left(k-1\right)} & =-\sum_{l=m_{k-1}+1}^{m_{k}}q_{l}\\
A_{2k}-A_{2k-1} & =\sum_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}}p_{l}
\end{align*}\]תהא \(\left(\sigma_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) סדרה המוגדרת ע"י \(\sigma_{k}=A_{k}-A_{k-1}\).\[
\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}=-\left(q_{1}+q_{2}+...+q_{m_{1}}\right)+\left(p_{1}+p_{2}+...+p_{n_{1}}\right)-\left(q_{m_{1}+1}+q_{m_{1}+2}+...+q_{m_{2}}\right)+\left(p_{n_{1}+1}+p_{n_{1}+2}+...+p_{n_{2}}\right)...
\]כלומר הטור \(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) הוא טור המתקבל מ-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ע"י שינוי סדר האיברים ואח"כ הכנסת סוגריים (כאשר בכל זוג סוגריים כל האיברים שווי סימן25לעניין זה \(0\) נחשב כשווה סימן גם לאיברים חיוביים וגם לאיברים שליליים. ועד כדי השמטת אפסים26אפסים אלו נוצרו מאיברים ב-\(\left(p_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ומ-\(\left(q_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) (ראו הערה הבאה) ואינם אפסים שהופיעו בטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\) במקור.)27כדי להבין זאת יש לזכור שהנחנו בהג"כ שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}\neq0\), וכי לכל \(n\in\MKnatural\): אם \(a_{n}>0\) אז \(p_{n}=a_{n}\) ו-\(q_{n}=0\) ואם \(a_{n}<0\) אז \(q_{n}=-a_{n}\) ו-\(p_{n}=0\)., בנוסף, לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sum_{l=1}^{k}\sigma_{l}=\left({\color{red}A_{1}}-A_{0}\right)+\left(A_{2}{\color{red}-A_{1}}\right)+...+\left({\color{red}A_{k-1}}-A_{k-2}\right)+\left(A_{k}{\color{red}-A_{k-1}}\right)=A_{k}-A_{0}=A_{k}
\]מהגדרה, לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left|A_{2k-1}-S\right| & <q_{m_{k}}\\
\left|A_{2k}-S\right| & <p_{n_{k}}
\end{align*}\]כעת נזכור כי \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\) (שהרי \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס) ומכאן שגם \(\lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}q_{n}=0\) וממשפט הירושה גם \(\lim_{k\rightarrow\infty}p_{n_{k}}=\lim_{k\rightarrow\infty}q_{m_{k}}=0\).\[
\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}=\lim_{k\rightarrow\infty}A_{k}=S
\]מכיוון ש-\(\sum_{k=1}^{\infty}\sigma_{k}\) מתקבל מ-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ע"י שינוי סדר האיברים ואח"כ הכנסת סוגריים כאשר בכל זוג סוגריים כל האיברים בעלי אותו סימן, הדבר גורר שהטור המסודר מחדש מתכנס ל-\(S\) (משפט4.1).
5 מכפלות טורים
5.1 הגדרות
אין הגדרות בפרק זה.
טענה 5.1. יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים המתכנסים ל-\(A\) ול-\(B\) בהתאמה, מתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\cdot b_{n}=A\cdot B
\]
הוכחה. מטענה 1.4 נובע כי:\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\cdot b_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}\cdot A\right)=A\cdot\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=A\cdot B
\]
משפט 5.2. משפט קושי יהיו \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) טורים מתכנסים בהחלט ויהיו \(A,B\in\MKreal\) כך ש-\(A=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(B=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\). כל טור המורכב מכל המכפלות מהצורה \(a_{i}\cdot b_{j}\) (עבור כל \(i,j\in\MKnatural\)) ללא חזרות הוא טור מתכנס בהחלט וסכומו הוא \(A\cdot B\).
הוכחה. יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}\) טור העובר על כל המכפלות הנ"ל ללא חזרות בסדר כלשהו, כלומר לכל \(n\in\MKnatural\) קיימים \(i,j\in\MKnatural\) יחידים כך ש-\(w_{n}=a_{i}\cdot b_{j}\) ולכל \(i,j\in\MKnatural\) קיים \(n\in\MKnatural\) יחיד כך ש-\(w_{n}=a_{i}\cdot b_{j}\). נתבונן בטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|w_{n}\right|\). יהי \(N\in\MKnatural\) ויהי \(M\) האינדקס המקסימלי המופיע ב-\(w_{1},w_{2},...,w_{N}\).\[
\Rightarrow\sum_{n=1}^{N}\left|w_{n}\right|\leq\left(\sum_{n=1}^{M}\left|a_{n}\right|\right)\left(\sum_{n=1}^{M}\left|b_{n}\right|\right)
\]מהיות \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) מתכנסים בהחלט נובע שסדרות הסכומים החלקיים של \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|\) מתכנסות ומאריתמטיקה של גבולות נובע שהגבול \(\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\sum_{n=1}^{N}\left|a_{n}\right|\right)\left(\sum_{n=1}^{N}\left|b_{n}\right|\right)\) קיים ולכן הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|w_{n}\right|\) חסום ומכיוון שהוא טור חיובי זהו טור מתכנס. מכאן שגם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}\) מתכנס וממשפט 4.1נובע שכל טור המתקבל ממנו ע"י שינוי סדר האיברים מתכנס לאותו סכום.\[
\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}W_{n}:={\color{red}\underset{W_{1}}{\underbrace{a_{1}\cdot b_{1}}}}+{\color{blue}\underset{W_{2}}{\underbrace{a_{1}\cdot b_{2}}}+\underset{W_{3}}{\underbrace{a_{2}\cdot b_{2}}}+\underset{W_{4}}{\underbrace{a_{2}\cdot b_{1}}}}+{\color{green}\underset{W_{5}}{\underbrace{a_{1}\cdot b_{3}}}+\underset{W_{6}}{\underbrace{a_{2}\cdot b_{3}}}+\underset{W_{7}}{\underbrace{a_{3}\cdot b_{3}}}+\underset{W_{8}}{\underbrace{a_{3}\cdot b_{2}}}+\underset{W_{9}}{\underbrace{a_{3}\cdot b_{1}}}}...
\]כלומר, אם נסדר את האיברים בטבלה:\[
\left[\begin{array}{cccc}
{\color{red}a_{1}\cdot b_{1}} & {\color{blue}a_{1}\cdot b_{2}} & {\color{green}a_{1}\cdot b_{3}} & ...\\
{\color{blue}a_{2}\cdot b_{1}} & {\color{blue}a_{2}\cdot b_{2}} & {\color{green}a_{2}\cdot b_{3}} & ...\\
{\color{green}a_{3}\cdot b_{1}} & {\color{green}a_{3}\cdot b_{2}} & {\color{green}a_{3}\cdot b_{3}} & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right]
\]אז סדר הסכימה יהיה כזה:\[
\left[\begin{array}{cccc}
{\color{red}1} & {\color{blue}2} & {\color{green}5} & ...\\
{\color{blue}4} & {\color{blue}3} & {\color{green}6} & ...\\
{\color{green}9} & {\color{green}8} & {\color{green}7} & ...\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right]
\]נשים לב שלכל \(N\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\sum_{n=1}^{N^{2}}W_{n}=\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\right)\left(\sum_{n=1}^{N}b_{n}\right)
\]ומכאן, ע"פ אריתמטיקה של גבולות שמתקיים:\[
\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N^{2}}W_{n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\right)\left(\sum_{n=1}^{N}b_{n}\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\right)\cdot\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\sum_{n=1}^{N}b_{n}\right)=A\cdot B
\]ממשפט הירושה נובע שמתקיים:\[
\sum_{n=1}^{\infty}w_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}W_{n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}W_{n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N^{2}}W_{n}=A\cdot B
\]
משפט 5.3. משפט מרטן (Mertens)28ערך בוויקיפדיה האנגלית: Franz Mertens. יהיו \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\) ו-\(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\) טורים המתכנסים ל-\(A\) ול-\(B\) בהתאמה כך שלפחות אחד מהם מתכנס בהחלט, מתקיים:\[
\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{n-k}=A\cdot B
\]
הוכחה. נניח בהג"כ ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) מתכנס בהחלט. תהיינה \(\left(A_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\), \(\left(B_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\), \(\left(D_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) ו-\(\left(\beta_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) סדרות המוגדרות כך (לכל \(n\in\MKnatural_{0}\)):\[\begin{align*}
A_{n} & :=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\\
B_{n} & :=\sum_{k=0}^{n}b_{k}\\
D_{n} & :=\sum_{k=0}^{n}d_{k}\\
\beta_{n} & :=B-B_{n}
\end{align*}\]מכאן שלכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים \(B_{n}=B-\beta_{n}\) ולכן לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[\begin{align*}
D_{n} & =\sum_{k=0}^{n}d_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{n-i}\right)=\left(a_{0}b_{0}\right)+\left(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}\right)+...\left(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{n}b_{0}\right)\\
& =a_{0}B_{n}+a_{1}B_{n-1}+...a_{n}B_{0}=a_{0}\left(B-\beta_{n}\right)+a_{1}\left(B-\beta_{n-1}\right)+...+a_{n}\left(B-\beta_{0}\right)\\
& =A_{n}\cdot B-\left(a_{0}\beta_{n}+a_{1}\beta_{n-1}+...+a_{n}\beta_{0}\right)
\end{align*}\]מאריתמטיקה של גבולות נובע שמתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\cdot B\right)=A\cdot B
\]ולכן עלינו להוכיח כי:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{n}a_{i}\beta_{n-i}=0
\]יהי \(n\in\MKnatural_{0}\) ונסמן \(m:=\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left|\sum_{i=0}^{n}a_{i}\beta_{n-i}\right| & =\left|\sum_{i=0}^{m}a_{i}\beta_{n-i}+\sum_{i=m+1}^{n}a_{i}\beta_{n-i}\right|\leq\left|\sum_{i=0}^{m}a_{i}\beta_{n-i}\right|+\left|\sum_{i=m+1}^{n}a_{i}\beta_{n-i}\right|\\
& \leq\sum_{i=0}^{m}\left|a_{i}\beta_{n-i}\right|+\sum_{i=m+1}^{n}\left|a_{i}\beta_{n-i}\right|=\sum_{i=0}^{m}\left(\left|a_{i}\right|\cdot\left|\beta_{n-i}\right|\right)+\sum_{i=m+1}^{n}\left(\left|a_{i}\right|\cdot\left|\beta_{n-i}\right|\right)\\
& \leq\sup\left\{ \left|\beta_{k}\right|:n-m\leq k\in\MKnatural_{0}\right\} \cdot\sum_{i=0}^{m}\left|a_{i}\right|+\sup\left\{ \left|\beta_{k}\right|:n-m>k\in\MKnatural_{0}\right\} \cdot\sum_{i=m+1}^{n}\left|a_{i}\right|\\
& \leq\sup\left\{ \left|\beta_{k}\right|:n-\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \leq k\in\MKnatural_{0}\right\} \cdot\sum_{i=0}^{\infty}\left|a_{i}\right|+\sup\left\{ \left|\beta_{k}\right|:n-\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor >k\in\MKnatural_{0}\right\} \cdot\sum_{i=\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +1}^{\infty}\left|a_{i}\right|
\end{align*}\]כעת נשים לב לעובדות הבאות:
הגבול \(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left|\beta_{k}\right|:n-\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor >k\in\MKnatural_{0}\right\} \) קיים במובן הצר (כלומר הוא מספר ממשי) שכן הסדרה \(\left(\beta_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\) מתכנסת וממילא חסומה.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );